Šiame straipsnyje bus nagrinėjama, kas yra ortonormalus pagrindas matricą ir kaip jas rasti MATLAB naudojant orth () funkcija.
Kas yra ortonormalus matricos pagrindas
Tiesinėje algebroje ortonormalus pagrindas vektoriaus erdvės V, turinčios baigtinį matmenį, yra pagrindas, turintis ortonormalūs vektoriai kur ortonormalūs vektoriai yra vienetiniai vektoriai, kurie yra statmeni vienas kitam, tai reiškia, kad jų taškinė sandauga yra lygi nuliui.
Apsvarstykite dviejų vienetų vektorius x ir y, jie bus stačiakampiai vienas kitam, jei „x.y=0“ . Šie du vektoriai taip pat vadinami ortonormalūs vektoriai .
Kodėl mums reikia skaičiuoti ortonormalų pagrindą
Ortonormalus pagrindas yra naudingas ieškant vektoriaus projekcijos į kitą vektorių arba atstumą tarp dviejų vektorių. Taip pat galime naudoti an ortonormalus pagrindas sumažinti apvalinimo paklaidą mūsų modeliavime ir vienintelė to priežastis yra ta, kad ortonormalaus pagrindo vektoriai yra nepriklausomi vienas nuo kito, todėl vieno vektoriaus klaida negali plisti į kitus vektorius. Be to, rasti koordinates ir atlikti tiesinę transformaciją yra daug lengviau, jei mūsų pagrindas yra ortonormalus.
Kaip rasti ortonormalų matricos pagrindą MATLAB?
MATLAB sistemoje galime rasti ortonormalus pagrindas naudojant įmontuotą orth () funkcija, atsakinga už nustatymą ortonormalus pagrindas duotosios matricos. Ši funkcija priima matricą kaip privalomą parametrą ir pateikia matricą kaip išvestį, kurioje yra ortonormalus pagrindas pateiktos įvesties matricos.
Sintaksė
The orth () funkcija gali būti įdiegta MATLAB naudojant šias sintakses:
Q = orth ( A, tol )
Čia
- Funkcija Q = orth (A) yra atsakingas už nustatymą ortonormalus pagrindas A diapazonui, kuriame išvesties matricos Q stulpeliai reiškia ortonormalus pagrindas matricos A ir jie el. pašto šiukšles atsiunčia matricos A diapazoną. Be to, A rangas yra lygus Q stulpelių skaičiui.
- Funkcija Q = orth(A,tol) yra atsakingas už nustatymą ortonormalus pagrindas A diapazonui, nurodančiam leistiną nuokrypį. Įvesties matricos A vienaskaitos reikšmės, kurios yra mažesnės už leistiną nuokrypį, yra traktuojamos kaip nulis, turint įtakos Q stulpelių skaičiui.
1 pavyzdys: Kaip rasti ortonormalų pilno rango matricos pagrindą MATLAB?
Šis MATLAB kodas nustato ortonormalus pagrindas duotosios kvadratinės matricos A, kurios dydis n=3, naudojant orth () funkcija. Šis kodas taip pat suranda matricos A rangą, naudodamas rangas () funkcija patikrinti, ar įvesties matrica yra pilno rango.
A = [ 1 0 -1 ; 1 2 0 ; 0 1 - 3 ] ;r = rangas ( A )
Q = orth ( A )
2 pavyzdys: Kaip apskaičiuoti ortonormalų rango deficito matricos pagrindą MATLAB?
Šiame pavyzdyje mes naudojame orth () funkcija rasti ortonormalus pagrindas pateiktos rango deficitinės matricos A. Matrica A yra rango trūkumas, nes rangas(K)
r = rangas ( A )
Q = orth ( A )
3 pavyzdys: Kaip rasti ortonormalų pilno rango matricos pagrindą, nurodant toleranciją MATLAB?
Pateiktame pavyzdyje apskaičiuojama ortonormalus pagrindas duotosios pilno rango kvadratinės matricos A, kurios dydis n=3 naudojant orth () funkcija su numatytuoju tolerancija. Kadangi A yra pilno rango matrica, A ir Q dydis (stačiakampis pagrindas) yra tas pats, kuris šiuo atveju yra 3 × 3. Tada pavyzdys apskaičiuoja ortonormalus pagrindas A nurodant tolerancijos reikšmę 0,5, kad A reikšmės, mažesnės nei 0,5, būtų laikomos vienareikšmėmis. A yra trys vienaskaitos reikšmės, todėl A turi du ortonormalius stulpelių vektorius, kuriuos sudaro Qtol matrica.
A = randas ( 3 ) ;r = rangas ( A )
Q = orth ( A )
Q_tol = orth ( A, 0.5 )
Išvada
Suradę ortonormalus pagrindas vektorinė erdvė yra svarbi tiesinės algebros sąvoka, kuri yra sudėtinga matematinė problema. Tačiau ją galima lengvai ir efektyviai išspręsti naudojant MATLAB integruotą orth () funkcija. Šiame straipsnyje pateikiamas šios funkcijos įgyvendinimas naudojant skirtingas sintakses ir pavyzdžius.